Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado , que é fronteira de um domínio regular contido em .
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades e aplique o teorema de Green duas vezes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre funções holomorfas no conjunto dos números complexos. Especificamente, queremos provar o Teorema de Cauchy, que diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de qualquer caminho fechado simples é igual a zero. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função holomorfa e como aplicar o Teorema de Green na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função que é holomorfa em pode ser escrita como , onde e são funções reais de duas variáveis, e .

Passo 3

A integral que queremos calcular é . Vamos substituir na integral:

Passo 4

Expandindo a expressão:
Aqui, separamos a parte real e a parte imaginária da integral.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green em duas partes separadas:
  1. Para a parte real:
  2. Para a parte imaginária:

Passo 6

O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região delimitada por .

Passo 7

Aplicando o Teorema de Green à parte real:

Passo 8

E para a parte imaginária:

Passo 9

Como é holomorfa, ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann:

Passo 10

Substituindo as Equações de Cauchy-Riemann nas integrais:
  • Para a parte real:
  • Para a parte imaginária:

Passo 11

Portanto, ambas as integrais duplas são iguais a zero:

Resposta

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é máximo.
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(a) , para todo vetor constante .
Fixado um domínio compacto com fronteira regular em , com , use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .