Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades
e aplique o teorema de Green duas vezes.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre funções holomorfas no conjunto dos números complexos. Especificamente, queremos provar o Teorema de Cauchy, que diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de qualquer caminho fechado simples é igual a zero. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função holomorfa e como aplicar o Teorema de Green na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
que é holomorfa em
pode ser escrita como
, onde
e
são funções reais de duas variáveis,
e
.
Passo 3
A integral que queremos calcular é
. Vamos substituir
na integral:
Passo 4
Expandindo a expressão:
Aqui, separamos a parte real e a parte imaginária da integral.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green em duas partes separadas:
- Para a parte real:
- Para a parte imaginária:
Passo 6
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região delimitada por
.
Passo 7
Aplicando o Teorema de Green à parte real:
Passo 8
E para a parte imaginária:
Passo 9
Como
é holomorfa, ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann:
Passo 10
Substituindo as Equações de Cauchy-Riemann nas integrais:
- Para a parte real:
- Para a parte imaginária:
Passo 11
Portanto, ambas as integrais duplas são iguais a zero: