Seja C o conjunto dos números complexos ^2 Omega subset C um aberto. Uma função f: Omega C é dita holomorfa em Omega, quando existe o limite
f^prime(a)=lim z a f(z)-f(a)z-a
para todo a in Omega.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
ointgamma f(z) d z=0
para todo caminho simples fechado gamma, que é fronteira de um domínio regular contido em Omega.
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades ointgamma f(z) d z=ointgamma(u+i v)(d x+i d y)=ointgamma u d x-v d y+i ointgamma(v d x+u d y) e aplique o teorema de Green duas vezes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre funções holomorfas no conjunto dos números complexos. Especificamente, queremos provar o Teorema de Cauchy, que diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de qualquer caminho fechado simples é igual a zero. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função holomorfa e como aplicar o Teorema de Green na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função f(z) que é holomorfa em Omega pode ser escrita como f(z) = u(x, y) + i v(x, y), onde u e v são funções reais de duas variáveis, x e y.

Passo 3

A integral que queremos calcular é ointgamma f(z) dz. Vamos substituir f(z) na integral:
ointgamma f(z) dz = ointgamma (u + i v)(dx + i dy)

Passo 4

Expandindo a expressão:
ointgamma f(z) dz = ointgamma (u , dx - v , dy) + i ointgamma (v , dx + u , dy)
Aqui, separamos a parte real e a parte imaginária da integral.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green em duas partes separadas:
  1. Para a parte real:
  2. Para a parte imaginária:

Passo 6

O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
onde D é a região delimitada por gamma.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Green à parte real:
ointgamma (u , dx - v , dy) = integral duplaD ( -partial vpartial x - partial upartial y ) dx , dy

Passo 8

E para a parte imaginária:
ointgamma (v , dx + u , dy) = integral duplaD ( partial upartial x - partial vpartial y ) dx , dy

Passo 9

Como f(z) é holomorfa, ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x

Passo 10

Substituindo as Equações de Cauchy-Riemann nas integrais:
  • Para a parte real:
-partial vpartial x - partial upartial y = -partial vpartial x - (-partial vpartial x) = 0
  • Para a parte imaginária:
partial upartial x - partial vpartial y = partial vpartial y - partial vpartial y = 0

Passo 11

Portanto, ambas as integrais duplas são iguais a zero:
ointgamma (u , dx - v , dy) = 0 e ointgamma (v , dx + u , dy) = 0

Resposta

ointgamma f(z) dz = 0

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