Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a)
, para todo vetor constante
.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo. Temos uma região sólida
em
com superfície
, e queremos mostrar que para qualquer vetor constante
, a integral de superfície
é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de superfície a integrais de volume.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que para um campo vetorial
suficientemente suave:
Vamos aplicar esse teorema ao vetor constante
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a divergência de
. A divergência de um vetor é dada por:
Como
é constante, todas as derivadas parciais são zero:
Passo 4
Agora, substituímos a divergência no Teorema da Divergência:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades e aplique o teorema de Green duas vezes.
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades
Encontre a curva suave fechada simples
para a qual o valor da integral de linha
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Fixado um domínio compacto
com fronteira regular
em
, com
, use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula
.
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que