Suponha que a região sólida Omega subset R^3 e a superfície S=partial Omega, orientada pelo campo unitário normal n, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) integral duplaS a cdot n=0, para todo vetor constante a in R^3.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo. Temos uma região sólida Omega em R^3 com superfície S = partial Omega, e queremos mostrar que para qualquer vetor constante a in R^3, a integral de superfície integral duplaS a cdot n , dS é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de superfície a integrais de volume.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que para um campo vetorial F suficientemente suave:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaOmega nabla cdot F , dV
Vamos aplicar esse teorema ao vetor constante a.

Passo 3

Primeiro, calculamos a divergência de a. A divergência de um vetor é dada por:
nabla cdot a = partial axpartial x + partial aypartial y + partial azpartial z
Como a é constante, todas as derivadas parciais são zero:
nabla cdot a = 0

Passo 4

Agora, substituímos a divergência no Teorema da Divergência:
integral duplaS a cdot n , dS = integral triplaOmega 0 , dV = 0

Resposta

integral duplaS a cdot n , dS = 0

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