Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo. Temos uma região sólida em com superfície , e queremos mostrar que para qualquer vetor constante , a integral de superfície é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de superfície a integrais de volume.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que para um campo vetorial suficientemente suave:
Vamos aplicar esse teorema ao vetor constante .

Passo 3

Primeiro, calculamos a divergência de . A divergência de um vetor é dada por:
Como é constante, todas as derivadas parciais são zero:

Passo 4

Agora, substituímos a divergência no Teorema da Divergência:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado , que é fronteira de um domínio regular contido em .
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades e aplique o teorema de Green duas vezes.
Encontre a curva suave fechada simples para a qual o valor da integral de linha
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Fixado um domínio compacto com fronteira regular em , com , use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então e são harmônicas, ou seja, vale . Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .