Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a)
, para todo vetor constante
.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo. Temos uma região sólida
em
com superfície
, e queremos mostrar que para qualquer vetor constante
, a integral de superfície
é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de superfície a integrais de volume.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que para um campo vetorial
suficientemente suave:
Vamos aplicar esse teorema ao vetor constante
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a divergência de
. A divergência de um vetor é dada por:
Como
é constante, todas as derivadas parciais são zero:
Passo 4
Agora, substituímos a divergência no Teorema da Divergência: