Seja
uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal
e orientada positivamente em relação a
. Mostre que a área
do plano delimitado por
é dada por
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma curva fechada suave, chamada
, que está toda num plano com um vetor normal
. A gente precisa mostrar que a área
desse plano delimitado por
pode ser calculada usando uma integral de linha específica. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que para uma superfície
com borda
, a integral de um rotacional de um campo vetorial
sobre
é igual à integral de
ao longo da curva
:
No nosso caso, queremos relacionar a área
com uma integral de linha, então vamos escolher um campo vetorial
que, ao aplicarmos o rotacional e o produto escalar com
, nos dê algo relacionado à área.
Passo 3
Vamos escolher
. Agora, vamos calcular o rotacional de
:
Então, temos
.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Aqui,
é a área da superfície
.
Passo 5
Isolando
:
Substituindo
:
Mas isso não corresponde exatamente à expressão que queremos, então precisamos ajustar nosso campo vetorial
para se adequar ao enunciado.
Passo 6
Vamos redefinir
de forma mais geral. Suponha que:
Calculando o rotacional de
:
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Como
é um vetor unitário,
.
Passo 7
Então, temos:
Substituindo
na integral:
Resposta
Portanto, a área
delimitada pela curva
no plano é dada por