Seja C uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal n=lang<= a, b, crang<= e orientada positivamente em relação a n. Mostre que a área A(C) do plano delimitado por C é dada por
A(C)=12 ointC(b z-c y) d x+(c x-a z) d y+(a y-b x) d z
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma curva fechada suave, chamada , que está toda num plano com um vetor normal . A gente precisa mostrar que a área desse plano delimitado por pode ser calculada usando uma integral de linha específica. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que para uma superfície ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com borda , a integral de um rotacional de um campo vetorial sobre é igual à integral de ao longo da curva :
No nosso caso, queremos relacionar a área com uma integral de linha, então vamos escolher um campo vetorial que, ao aplicarmos o rotacional e o produto escalar com , nos dê algo relacionado à área.

Passo 3

Vamos escolher nabla times F = lang<= partialpartial y(0) - partialpartial z(x), partialpartial z(-y) - partialpartial x(0), partialpartial x(x) - partialpartial y(-y) rang<= = lang<= 0, 0, 1 + 1 rang<= = lang<= 0, 0, 2 rang<= . Agora, vamos calcular o rotacional de :
Então, temos .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS lang<= 0, 0, 2 rang<= cdot lang<= a, b, c rang<= , dS = 2c integral duplaS dS = 2c A(C)
Aqui, é a área da superfície .

Passo 5

Isolando A(C) = 12c ointC F cdot dr :
A(C) = 12c ointC 12 (-y dx + x dy) = 14c ointC (-y dx + x dy)
Substituindo :
Mas isso não corresponde exatamente à expressão que queremos, então precisamos ajustar nosso campo vetorial para se adequar ao enunciado.

Passo 6

Vamos redefinir F = 12 lang<= b z - c y, c x - a z, a y - b x rang<= de forma mais geral. Suponha que:
nabla times F = lang<= a, b, c rang<=
Calculando o rotacional de ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS lang<= a, b, c rang<= cdot lang<= a, b, c rang<= , dS = (a^2 + b^2 + c^2) A(C) :
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Como é um vetor unitário, .

Passo 7

Então, temos:
ointC F cdot dr = A(C)
Substituindo A(C) = 12 ointC (b z - c y) dx + (c x - a z) dy + (a y - b x) dz na integral:

Resposta

Portanto, a área A(C) = 12 ointC (b z - c y) dx + (c x - a z) dy + (a y - b x) dz delimitada pela curva no plano é dada por

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