Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série
Conteúdo envolvido:
Séries alternadas: São séries onde os termos mudam de sinal alternadamente, como vemos pelo .
Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz): Um método para verificar a convergência de séries alternadas.
Convergência absoluta e condicional: Conceitos que ajudam a determinar a natureza da convergência da série.
O que precisamos para resolver:
Aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
Verificar a convergência absoluta da série para concluir se a convergência é absoluta ou condicional.
Passo 2
Aplicando o Teste da Série Alternada
Primeiro, vamos focar na parte alternada da série, ou seja, o . As séries alternadas são da forma:
onde . No nosso caso, temos:
Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada):
Para que uma série alternada converja, dois critérios precisam ser atendidos:
A sequência deve ser decrescente, ou seja, para todo .
O limite de quando tende ao infinito deve ser zero: .
Vamos verificar esses dois pontos.
Passo 3
Verificando se é decrescente
Primeiro, precisamos mostrar que para todo .
Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, comparando com :
Observamos que, para , o denominador de é maior que o de , o que faz com que:
Portanto, a sequência é decrescente.
Passo 4
Calculando o limite de quando tende ao infinito
Vamos calcular:
Simplificando, lembrando que :
À medida que aumenta, o denominador cresce como um polinômio de terceiro grau, enquanto o numerador cresce exponencialmente. No entanto, para determinar o limite, é mais claro observar que, apesar do crescimento exponencial, o termo não consegue superar o crescimento do fatorial no denominador quando simplificamos a expressão.
Então:
Passo 5
Concluindo a convergência usando o Teste da Série Alternada
Como verificamos:
A sequência é decrescente.
O limite de quando tende ao infinito é zero.
Portanto, pela Regra de Leibniz, a série alternada:
converge.
Passo 6
Verificando a convergência absoluta
Para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, analisamos a série dos valores absolutos:
Simplificando:
3^n n!(n+3)! = 3^n(n+3)(n+2)(n+1)
Observamos que, para grandes valores de n, o termo geral se comporta como 3^nn^3. Como 3^n cresce exponencialmente e n^3 cresce polinomialmente, o termo geral não tende a zero suficientemente rápido, indicando que a série dos valores absolutos diverge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n 3^n n!(n+3)!converge condicionalmente.