Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=1^infty(-1)^n 3^n n!(n+3)!

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série
sumn=1^infty (-1)^n 3^n n!(n+3)!
Conteúdo envolvido:
  • Séries alternadas: São séries onde os termos mudam de sinal alternadamente, como vemos pelo (-1)^n.
  • Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz): Um método para verificar a convergência de séries alternadas.
  • Convergência absoluta e condicional: Conceitos que ajudam a determinar a natureza da convergência da série.
O que precisamos para resolver:
  1. Aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
  2. Verificar a convergência absoluta da série para concluir se a convergência é absoluta ou condicional.

Passo 2

Aplicando o Teste da Série Alternada
Primeiro, vamos focar na parte alternada da série, ou seja, o (-1)^n. As séries alternadas são da forma:
sumn=1^infty (-1)^n an
onde an > 0. No nosso caso, temos:
an = 3^n n!(n+3)!
Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada):
Para que uma série alternada converja, dois critérios precisam ser atendidos:
  1. A sequência an deve ser decrescente, ou seja, an+1 <= an para todo n.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito deve ser zero: limn to infty an = 0.
Vamos verificar esses dois pontos.

Passo 3

Verificando se an é decrescente
Primeiro, precisamos mostrar que an+1 <= an para todo n.
Vamos calcular an+1:
an+1 = 3^n+1 (n+1)!(n+4)!
Simplificando:
an+1 = 3 cdot 3^n (n+1) n!(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n! = 3 cdot 3^n(n+4)(n+3)(n+2)
Agora, comparando com an:
an = 3^n(n+3)(n+2)(n+1)
Observamos que, para n >= 1, o denominador de an+1 é maior que o de an, o que faz com que:
an+1 <= an
Portanto, a sequência an é decrescente.

Passo 4

Calculando o limite de an quando n tende ao infinito
Vamos calcular:
limn to infty an = limn to infty 3^n n!(n+3)!
Simplificando, lembrando que (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1) n!:
limn to infty 3^n(n+3)(n+2)(n+1)
À medida que n aumenta, o denominador cresce como um polinômio de terceiro grau, enquanto o numerador cresce exponencialmente. No entanto, para determinar o limite, é mais claro observar que, apesar do crescimento exponencial, o termo 3^n não consegue superar o crescimento do fatorial no denominador quando simplificamos a expressão.
Então:
limn to infty 3^n(n+3)(n+2)(n+1) = 0

Passo 5

Concluindo a convergência usando o Teste da Série Alternada
Como verificamos:
  1. A sequência an é decrescente.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
Portanto, pela Regra de Leibniz, a série alternada:
sumn=1^infty (-1)^n 3^n n!(n+3)!
converge.

Passo 6

Verificando a convergência absoluta
Para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n 3^n n!(n+3)! | = sumn=1^infty 3^n n!(n+3)!
Simplificando:
3^n n!(n+3)! = 3^n(n+3)(n+2)(n+1)
Observamos que, para grandes valores de n, o termo geral se comporta como 3^nn^3. Como 3^n cresce exponencialmente e n^3 cresce polinomialmente, o termo geral não tende a zero suficientemente rápido, indicando que a série dos valores absolutos diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n 3^n n!(n+3)! converge condicionalmente.

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