Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=1^infty(-1)^n 1raiz[3]n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série: ela é uma série alternada porque o termo faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo. Séries alternadas podem convergir mesmo que a série dos valores absolutos não converja.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série do tipo converge se:
  1. é sempre positivo,
  2. é decrescente, ou seja, ,
  3. .
No nosso caso, . Vamos verificar cada condição.

Passo 4

Primeira condição: para todo . Isso está ok.

Passo 5

Segunda condição: Vamos ver se é decrescente. Observamos que, conforme aumenta, também aumenta, então diminui. Logo, é decrescente.

Passo 6

Terceira condição: Vamos calcular o limite de limn to infty 1raiz[3]n+1 = 0 quando tende ao infinito:
Então, a terceira condição também é satisfeita.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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