Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série: ela é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo. Séries alternadas podem convergir mesmo que a série dos valores absolutos não converja.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série do tipo
converge se:
-
é sempre positivo, -
é decrescente, ou seja, , -
.
No nosso caso,
. Vamos verificar cada condição.
Passo 4
Primeira condição:
para todo
. Isso está ok.
Passo 5
Segunda condição: Vamos ver se
é decrescente. Observamos que, conforme
aumenta,
também aumenta, então
diminui. Logo,
é decrescente.
Passo 6
Terceira condição: Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, a terceira condição também é satisfeita.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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