No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para e para poderia ser a função .
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa se movendo em um caminho curvo com raio de curvatura . Queremos descobrir qual é a força necessária para manter essa partícula nessa trajetória circular. O conteúdo envolve conceitos de força centrípeta em física, que é a força que mantém um objeto em movimento circular. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre força, massa, velocidade e raio da trajetória.

Passo 2

Vamos lembrar da definição de força centrípeta. A força centrípeta é a força que atua perpendicularmente à direção do movimento da partícula, direcionando-a para o centro da curva. Essa força é essencial para que a partícula mantenha seu movimento circular sem sair da trajetória.

Passo 3

A fórmula que relaciona a força centrípeta ( ), a massa ( ) da partícula, a velocidade ( ) dela, e o raio ( ) da curva é dada por:
Aqui, é a velocidade tangencial da partícula, e é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Para mostrar que essa fórmula está correta, vamos derivá-la. Sabemos que a aceleração centrípeta ( ) é dada por:
Segundo a segunda lei de Newton, a força é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Substituindo na equação, temos:

Resposta

Portanto, a magnitude da força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular é:

Exercícios relacionados

Seja : e considere em as coordenadas polares dadas por e y . Calcule e .
Uma partícula começa na origem com velocidade inicial . Sua aceleração é a . Determine sua função posição.
Usando a regra da cadeia, calcule .
(b)
Encontre a curvatura da curva no ponto (1, 1).