No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por
para
e
para
poderia ser a função
.
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa
. Mostre que a magnitude da força
que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
se movendo em um caminho curvo com raio de curvatura
. Queremos descobrir qual é a força necessária para manter essa partícula nessa trajetória circular. O conteúdo envolve conceitos de força centrípeta em física, que é a força que mantém um objeto em movimento circular. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre força, massa, velocidade e raio da trajetória.
Passo 2
Vamos lembrar da definição de força centrípeta. A força centrípeta é a força que atua perpendicularmente à direção do movimento da partícula, direcionando-a para o centro da curva. Essa força é essencial para que a partícula mantenha seu movimento circular sem sair da trajetória.
Passo 3
A fórmula que relaciona a força centrípeta (
), a massa (
) da partícula, a velocidade (
) dela, e o raio (
) da curva é dada por:
Aqui,
é a velocidade tangencial da partícula, e
é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Para mostrar que essa fórmula está correta, vamos derivá-la. Sabemos que a aceleração centrípeta (
) é dada por:
Segundo a segunda lei de Newton, a força é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Substituindo
na equação, temos:
Resposta
Portanto, a magnitude da força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular é:
Exercícios relacionados
Seja
:
e considere em
as coordenadas polares dadas por
e y
. Calcule
e
.
Uma partícula começa na origem com velocidade inicial
. Sua aceleração é a
. Determine sua função posição.
Usando a regra da cadeia, calcule
.
(b)
(b)
Encontre a curvatura da curva
no ponto (1, 1).