Usando a regra da cadeia, calcule .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com funções compostas, onde depende de e , que por sua vez dependem de . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Queremos encontrar , que é a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas em funções de várias variáveis nos diz que:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular e :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 9

Finalmente, podemos fatorar :

Resposta

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No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para e para poderia ser a função .
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
Seja : e considere em as coordenadas polares dadas por e y . Calcule e .
Encontre a curvatura da curva no ponto (1, 1).
Encontre e .
(a)