Usando a regra da cadeia, calcule d z / d t.
(b) z = cos(x / y), x = 2t, y = 1 - t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com funções compostas, onde depende de e , que por sua vez dependem de . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Queremos encontrar , que é a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas em funções de várias variáveis nos diz que:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular e :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 9

Finalmente, podemos fatorar :

Resposta

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