Usando a regra da cadeia, calcule
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular
usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com funções compostas, onde
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Queremos encontrar
, que é a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
A regra da cadeia para derivadas em funções de várias variáveis nos diz que:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão:
Passo 9
Finalmente, podemos fatorar
: