Encontre a curvatura das curvas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curvatura da curva definida por . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e o cálculo da curvatura de uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é . A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que representa a aceleração da curva.

Passo 4

Para encontrar a curvatura, precisamos do produto vetorial de e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por e .
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo (magnitude) desse vetor resultante:

Passo 6

Também precisamos do módulo da primeira derivada elevado ao cubo:

Resposta

Finalmente, a curvatura da curva é dada por:

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