Encontre os vetores tangente unitário e normal unitário e para as seguintes curvas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma curva definida por . Nosso objetivo é encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário dessa curva. Isso faz parte do estudo de Vetores em Curvas no Espaço, um tópico de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a , achar a magnitude dessa derivada e depois usar essas informações para determinar os vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da posição em relação a , que é o vetor velocidade . Isso nos dá a direção da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de , que é o tamanho do vetor velocidade. A magnitude é dada por:

Passo 4

Com a derivada e a magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário dividindo pela sua magnitude:

Passo 5

Para achar o vetor normal unitário , precisamos primeiro calcular a derivada de em relação a , denotada por . Depois, normalizamos esse vetor:
Isso envolve derivar cada componente de e depois calcular a magnitude da derivada resultante, mas os cálculos ficam bem extensos. O importante é seguir esse procedimento passo a passo.

Resposta

Os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva são:
Onde é a derivada de em relação a .

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Encontre a curvatura das curvas abaixo.
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Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto , 4, 4).