Encontre os vetores tangente unitário e normal unitário e para as seguintes curvas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma curva definida por . Nosso objetivo é encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário dessa curva. Isso faz parte do estudo de Vetores em Curvas no Espaço, um tópico de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a , achar a magnitude dessa derivada e depois usar essas informações para determinar os vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da posição em relação a , que é o vetor velocidade. Isso nos dá a direção da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de , que é o tamanho do vetor velocidade. A magnitude é dada por:
Passo 4
Com a derivada e a magnitude em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário dividindo pela sua magnitude:
Passo 5
Para achar o vetor normal unitário, precisamos primeiro calcular a derivada de em relação a , denotada por . Depois, normalizamos esse vetor:
Isso envolve derivar cada componente de e depois calcular a magnitude da derivada resultante, mas os cálculos ficam bem extensos. O importante é seguir esse procedimento passo a passo.
Resposta
Os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva são: