Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estudar os pontos de máximos e mínimos da função
. Isso entra na matéria de cálculo de máximos e mínimos, que envolve achar onde a função atinge seus valores mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos). Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções e analisar essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Essa é uma função polinomial do segundo grau, também conhecida como parábola. O coeficiente de
é negativo (-1), o que nos diz que a parábola está virada para baixo, ou seja, tem um ponto mais alto, um máximo, mas não um mínimo.
Passo 3
Para encontrar esse máximo, precisamos calcular a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, ela nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque nesses pontos a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis máximos ou mínimos.
Resolvendo essa equação:
Passo 5
Encontramos que
é o ponto crítico. Agora, para confirmar se esse ponto é um máximo ou mínimo, podemos analisar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto ou usar o teste da segunda derivada.
Vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada da função:
Passo 6
A segunda derivada
é negativa, o que indica que a concavidade da parábola é para baixo. Isso confirma que o ponto crítico
é um ponto de máximo.
Passo 7
Agora, para encontrar o valor máximo, substituímos
na função original:
Resposta
A função
tem um ponto de máximo em
com o valor máximo de
.
Exercícios relacionados
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Mostre que a função
é solução da equação
, qualquer que seja
valor real
.
Encontre a curvatura das curvas abaixo.