Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estudar os pontos de máximos e mínimos da função . Isso entra na matéria de cálculo de máximos e mínimos, que envolve achar onde a função atinge seus valores mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos). Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções e analisar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Essa é uma função polinomial do segundo grau, também conhecida como parábola. O coeficiente de é negativo (-1), o que nos diz que a parábola está virada para baixo, ou seja, tem um ponto mais alto, um máximo, mas não um mínimo.

Passo 3

Para encontrar esse máximo, precisamos calcular a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, ela nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora que temos a derivada , queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque nesses pontos a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis máximos ou mínimos.
Resolvendo essa equação:

Passo 5

Encontramos que é o ponto crítico. Agora, para confirmar se esse ponto é um máximo ou mínimo, podemos analisar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto ou usar o teste da segunda derivada.
Vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada da função:

Passo 6

A segunda derivada é negativa, o que indica que a concavidade da parábola é para baixo. Isso confirma que o ponto crítico é um ponto de máximo.

Passo 7

Agora, para encontrar o valor máximo, substituímos na função original:

Resposta

A função tem um ponto de máximo em com o valor máximo de .

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Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Mostre que a função é solução da equação , qualquer que seja valor real .
Encontre a curvatura das curvas abaixo.