Encontre a curvatura das curvas abaixo. r(t) = t i + t j + (1 + t)^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da curva dada pela função vetorial . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, geometria das curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas da função vetorial e usar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” nesse ponto. Matematicamente, para uma curva dada por r(t), a curvatura kappa é calculada pela fórmula:
Isso quer dizer que a gente precisa calcular a primeira e a segunda derivadas da função vetorial, o produto vetorial dessas derivadas e os módulos (comprimentos) desses vetores.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função vetorial r(t):

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial:

Passo 5

Next, vamos calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial:

Passo 7

Em seguida, vamos calcular o módulo da primeira derivada :

Passo 8

Agora, vamos elevar o módulo de ao cubo:

Passo 9

Por fim, substituímos os valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é:

Exercícios relacionados