Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da curva dada pela função vetorial . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, geometria das curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas da função vetorial e usar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” nesse ponto. Matematicamente, para uma curva dada por , a curvatura é calculada pela fórmula:
Isso quer dizer que a gente precisa calcular a primeira e a segunda derivadas da função vetorial, o produto vetorial dessas derivadas e os módulos (comprimentos) desses vetores.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada da função vetorial :
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial:
Passo 5
Next, vamos calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial:
Passo 7
Em seguida, vamos calcular o módulo da primeira derivada :
Passo 8
Agora, vamos elevar o módulo de ao cubo:
Passo 9
Por fim, substituímos os valores na fórmula da curvatura: