Um mosquito está preso em um container, cuja temperatura é dada pela função em graus Celsius. Estando o mosquito posicionado no ponto , se ele voar na direção do vetor , ele estará aquecendo ou esfriando? Com qual taxa de variação de temperatura?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura dentro de um container em diferentes pontos , dada por:
Um mosquito está no ponto e quer saber se, ao voar na direção do vetor , ele estará se aquecendo ou esfriando. Além disso, precisamos descobrir a taxa com que a temperatura está mudando nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando :
Simplificando:
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em :
Calculando cada componente:
Portanto,

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o vetor unitário na direção do vetor . Para isso, dividimos o vetor pela sua magnitude:
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional de na direção de usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Simplificando:

Resposta

O mosquito estará se aquecendo na direção do vetor com uma taxa de variação de temperatura de aproximadamente graus Celsius por unidade de distância.

Exercícios relacionados

Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto , 4, 4).
Encontre a curvatura das curvas abaixo.
Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
Se a função receita for , obtenha o valor de que maximiza a receita.