Um mosquito está preso em um container, cuja temperatura é dada pela função
em graus Celsius. Estando o mosquito posicionado no ponto
, se ele voar na direção do vetor
, ele estará aquecendo ou esfriando? Com qual taxa de variação de temperatura?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura dentro de um container em diferentes pontos
, dada por:
Um mosquito está no ponto
e quer saber se, ao voar na direção do vetor
, ele estará se aquecendo ou esfriando. Além disso, precisamos descobrir a taxa com que a temperatura está mudando nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em
:
Calculando cada componente:
Portanto,
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o vetor unitário na direção do vetor
. Para isso, dividimos o vetor
pela sua magnitude:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada direcional de
na direção de
usando o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Simplificando:
Resposta
O mosquito estará se aquecendo na direção do vetor
com uma taxa de variação de temperatura de aproximadamente
graus Celsius por unidade de distância.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
, 4, 4).
Encontre a curvatura das curvas abaixo.
Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
Se a função receita for
, obtenha o valor de
que maximiza a receita.