Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde à família de circunferências que têm seus centros sobre o eixo Ox e que passam pelo ponto
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar montar a equação geral das circunferências dessa família e depois eliminar o parâmetro para chegar na E.D.O.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em
(já que o centro está sobre Ox) é:
Aqui,
é o parâmetro que precisamos encontrar, e
é o raio da circunferência.
Passo 3
Sabemos que todas essas circunferências passam pelo ponto
. Então, substituindo
e
na equação da circunferência, temos:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 4
Agora, substituímos
na equação da circunferência:
Explicando, isso porque já encontramos que
.
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Rearranjando os termos:
Essa é a equação geral da família de circunferências.
Passo 7
Para encontrar a E.D.O., precisamos eliminar o parâmetro
. Vamos diferenciar a equação em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia na diferenciação de
.
Passo 8
Isolando
:
Onde
.
Passo 9
Substituímos
na equação original:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária correspondente é:
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.
Encontre a E.D.O. correspondente à: família
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau: