Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde à família de circunferências que têm seus centros sobre o eixo Ox e que passam pelo ponto . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar montar a equação geral das circunferências dessa família e depois eliminar o parâmetro para chegar na E.D.O.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em (já que o centro está sobre Ox) é:
Aqui, é o parâmetro que precisamos encontrar, e é o raio da circunferência.

Passo 3

Sabemos que todas essas circunferências passam pelo ponto . Então, substituindo e na equação da circunferência, temos:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Agora, substituímos na equação da circunferência:
Explicando, isso porque já encontramos que .

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Rearranjando os termos:
Essa é a equação geral da família de circunferências.

Passo 7

Para encontrar a E.D.O., precisamos eliminar o parâmetro . Vamos diferenciar a equação em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia na diferenciação de .

Passo 8

Isolando :
Onde .

Passo 9

Substituímos na equação original:
Multiplicando todos os termos por para simplificar:

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária correspondente é:

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