Encontre a E.D.O. correspondente à: família

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma família de curvas dada por , onde é uma constante real. Nosso objetivo aqui é encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que corresponde a essa família de curvas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e eliminação de constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:
Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra da cadeia na derivada de .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Aqui, é a derivada de em relação a . A derivada de , que é uma constante, é zero.

Passo 4

Agora, vamos isolar para deixar a equação mais clara:
Essa é a forma da nossa EDO. Ela relaciona , e a derivada sem envolver a constante .

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária correspondente é:

Exercícios relacionados

Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Resolva a E.D.O.
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas com inclinação dada .
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto