Encontre a E.D.O. correspondente à: família
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma família de curvas dada por
, onde
é uma constante real. Nosso objetivo aqui é encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que corresponde a essa família de curvas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e eliminação de constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:
Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia na derivada de
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
. A derivada de
, que é uma constante, é zero.
Passo 4
Agora, vamos isolar
para deixar a equação mais clara:
Essa é a forma da nossa EDO. Ela relaciona
,
e a derivada
sem envolver a constante
.
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária correspondente é:
Exercícios relacionados
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Resolva a E.D.O.
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas com inclinação dada
.
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto