Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas com inclinação dada m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde a toda a família de retas com inclinação dada m. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente às equações diferenciais que descrevem famílias de funções. Para resolver, vamos precisar lembrar como as retas são representadas matematicamente e entender o que uma E.D.O. faz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no plano cartesiano pode ser representada pela equação:

Aqui, m é a inclinação da reta (ou coeficiente angular) e c é o termo constante que determina onde a reta cruza o eixo y.

Passo 3

Como o exercício fala em família de retas com inclinação dada m, isso significa que m é uma constante conhecida. A variável aqui é c, que pode mudar para criar diferentes retas, mas m permanece o mesmo para todas elas.

Passo 4

Agora, para encontrar a E.D.O. que descreve essa família de retas, precisamos relacionar essa equação com derivadas. Sabemos que a derivada de y em relação a x representa a inclinação da curva naquele ponto, ou seja:

Passo 5

Essa equação diferencial simples nos diz que a taxa de variação de y em relação a x é constante e igual a m. Resolvendo essa E.D.O., integramos ambos os lados em relação a x:

Onde c é a constante de integração, que corresponde ao termo constante das retas.

Resposta

A E.D.O. correspondente é:

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