Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas com inclinação dada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde a toda a família de retas com inclinação dada . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente às equações diferenciais que descrevem famílias de funções. Para resolver, vamos precisar lembrar como as retas são representadas matematicamente e entender o que uma E.D.O. faz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no plano cartesiano pode ser representada pela equação:

Aqui, é a inclinação da reta (ou coeficiente angular) e é o termo constante que determina onde a reta cruza o eixo .

Passo 3

Como o exercício fala em família de retas com inclinação dada , isso significa que é uma constante conhecida. A variável aqui é , que pode mudar para criar diferentes retas, mas permanece o mesmo para todas elas.

Passo 4

Agora, para encontrar a E.D.O. que descreve essa família de retas, precisamos relacionar essa equação com derivadas. Sabemos que a derivada de em relação a representa a inclinação da curva naquele ponto, ou seja:

Passo 5

Essa equação diferencial simples nos diz que a taxa de variação de em relação a é constante e igual a . Resolvendo essa E.D.O., integramos ambos os lados em relação a :

Onde é a constante de integração, que corresponde ao termo constante das retas.

Resposta

A E.D.O. correspondente é:

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Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis: