Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas com inclinação dada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde a toda a família de retas com inclinação dada
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente às equações diferenciais que descrevem famílias de funções. Para resolver, vamos precisar lembrar como as retas são representadas matematicamente e entender o que uma E.D.O. faz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta no plano cartesiano pode ser representada pela equação:
Aqui,
Passo 3
Como o exercício fala em família de retas com inclinação dada
, isso significa que
é uma constante conhecida. A variável aqui é
, que pode mudar para criar diferentes retas, mas
permanece o mesmo para todas elas.
Passo 4
Agora, para encontrar a E.D.O. que descreve essa família de retas, precisamos relacionar essa equação com derivadas. Sabemos que a derivada de
em relação a
representa a inclinação da curva naquele ponto, ou seja:
Passo 5
Essa equação diferencial simples nos diz que a taxa de variação de
em relação a
é constante e igual a
. Resolvendo essa E.D.O., integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
Resposta
A E.D.O. correspondente é:
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Encontre a E.D.O. correspondente à: família
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis: