Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas que se interceptam no ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde a uma família de retas que todas se interceptam no ponto . Vamos precisar entender um pouquinho sobre como relacionar uma família de soluções (no caso, as retas) com a equação diferencial que essas soluções satisfazem.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como é a equação de uma reta que passa pelo ponto . A forma geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular (slope) e é o coeficiente linear (intercepto).
Como todas as retas passam por , quando , . Substituindo na equação da reta:
Então, a equação das retas é:
Aqui, é uma constante que pode variar, representando todas as retas que passam pelo ponto .

Passo 3

Agora, para encontrar a E.D.O. correspondente, precisamos eliminar o parâmetro da equação. Para isso, vamos derivar a equação da reta em relação a :
Temos que . Vamos substituir esse valor de de volta na equação original da reta:
Essa é a E.D.O. que corresponde à família de retas que se interceptam no ponto .

Resposta

A E.D.O. correspondente é:

Exercícios relacionados

Encontre a E.D.O. correspondente à: família
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis: