Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas que se interceptam no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde a uma família de retas que todas se interceptam no ponto
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre como relacionar uma família de soluções (no caso, as retas) com a equação diferencial que essas soluções satisfazem.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como é a equação de uma reta que passa pelo ponto
. A forma geral de uma reta é
, onde
é o coeficiente angular (slope) e
é o coeficiente linear (intercepto).
Como todas as retas passam por
, quando
,
. Substituindo na equação da reta:
Então, a equação das retas é:
Aqui,
é uma constante que pode variar, representando todas as retas que passam pelo ponto
.
Passo 3
Agora, para encontrar a E.D.O. correspondente, precisamos eliminar o parâmetro
da equação. Para isso, vamos derivar a equação da reta em relação a
:
Temos que
. Vamos substituir esse valor de
de volta na equação original da reta:
Essa é a E.D.O. que corresponde à família de retas que se interceptam no ponto
.
Resposta
A E.D.O. correspondente é:
Exercícios relacionados
Encontre a E.D.O. correspondente à: família
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis: