Encontre a E.D.O. correspondente à: família

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta pede: precisamos encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde à família de funções dada por , onde é uma constante real. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo, como derivação e eliminação de constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para isolar o termo que contém a constante . Temos:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra da cadeia para derivar termos que contêm :
Derivando cada termo:

Passo 4

Queremos isolar , então vamos juntar os termos que contêm essa derivada:
Fatorando :

Passo 5

Lembrando da expressão que encontramos no Passo 2, onde , substituímos na equação:
Simplificando dentro dos parênteses:

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária correspondente à família dada é:

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