Encontre a E.D.O. correspondente à: família
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta pede: precisamos encontrar a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que corresponde à família de funções dada por
, onde
é uma constante real. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo, como derivação e eliminação de constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para isolar o termo que contém a constante
. Temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia para derivar termos que contêm
:
Derivando cada termo:
Passo 4
Queremos isolar
, então vamos juntar os termos que contêm essa derivada:
Fatorando
:
Passo 5
Lembrando da expressão que encontramos no Passo 2, onde
, substituímos na equação:
Simplificando dentro dos parênteses:
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária correspondente à família dada é:
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