Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis: d/y = e^(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que a gente precisa aqui é sobre Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis. Basicamente, a ideia é separar as variáveis e para cada lado da equação, assim fica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar e . A nossa equação é:
Podemos reescrever como , então fica:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar de um lado:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de em relação a é:
Do outro lado, a integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos os dois lados por :
Podemos chamar de uma nova constante, digamos , então:
Para isolar , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por :
Como é apenas uma constante qualquer, podemos simplificar e escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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