Encontre o ponto da hipérbole y^2 - x^2 = 4 que está mais próximo do ponto 2,0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto na hipérbole que está mais próximo do ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com hipérboles e otimização de distâncias. Para resolver isso, vamos precisar entender como medir distâncias entre pontos e usar um pouco de cálculo para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre e é dada por:
Nosso objetivo é minimizar essa distância .

Passo 3

Como a raiz quadrada é uma função crescente, minimizar é o mesmo que minimizar . Assim, podemos simplificar os cálculos minimizando:
Isso facilita a derivação e a busca pelo mínimo.

Passo 4

Sabemos que o ponto está na hipérbole . Podemos usar essa equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo:
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:

Passo 6

Com , encontramos usando a equação da hipérbole:
(Note que consideramos apenas pois a hipérbole tem simetria e a distância será a mesma para .)

Resposta

O ponto da hipérbole que está mais próximo do ponto é .

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