Encontre o ponto da hipérbole
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto na hipérbole
que está mais próximo do ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com hipérboles e otimização de distâncias. Para resolver isso, vamos precisar entender como medir distâncias entre pontos e usar um pouco de cálculo para encontrar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre
e
é dada por:
Nosso objetivo é minimizar essa distância
.
Passo 3
Como a raiz quadrada é uma função crescente, minimizar
é o mesmo que minimizar
. Assim, podemos simplificar os cálculos minimizando:
Isso facilita a derivação e a busca pelo mínimo.
Passo 4
Sabemos que o ponto
está na hipérbole
. Podemos usar essa equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:
Passo 6
Com
, encontramos
usando a equação da hipérbole:
(Note que consideramos apenas
pois a hipérbole tem simetria e a distância será a mesma para
.)
Resposta
O ponto da hipérbole
que está mais próximo do ponto
é
.