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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada de ordem
da função
. Isso está no campo do cálculo, mais especificamente em derivadas de funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar a função
e entender como calcular derivadas de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, lembra como é definida a função hiperbólica cosseno? É assim:
No nosso caso, temos
, então substituindo:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa função. A primeira derivada de
é a função hiperbólica seno multiplicada pela constante que acompanha o
:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos
e multiplicamos pelo resultado.
Passo 4
Vamos derivar de novo para ver o que acontece:
Perceba que a segunda derivada volta a ser um múltiplo de
.
Passo 5
Continuando esse processo, percebemos um padrão: a cada derivada, a função alterna entre
e
, e o fator multiplicador aumenta como uma potência de 2.
Então, para a
-ésima derivada:
- Se
for par, a derivada será um múltiplo de . - Se
for ímpar, será um múltiplo de .
Passo 6
Formalizando isso, podemos dizer que: