Encontre:
d^n/dx^n cosh(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada de ordem da função . Isso está no campo do cálculo, mais especificamente em derivadas de funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar a função e entender como calcular derivadas de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, lembra como é definida a função hiperbólica cosseno? É assim:
No nosso caso, temos , então substituindo:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa função. A primeira derivada de é a função hiperbólica seno multiplicada pela constante que acompanha o :
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos e multiplicamos pelo resultado.

Passo 4

Vamos derivar de novo para ver o que acontece:
Perceba que a segunda derivada volta a ser um múltiplo de .

Passo 5

Continuando esse processo, percebemos um padrão: a cada derivada, a função alterna entre e , e o fator multiplicador aumenta como uma potência de 2.
Então, para a -ésima derivada:
  • Se for par, a derivada será um múltiplo de .
  • Se for ímpar, será um múltiplo de .

Passo 6

Formalizando isso, podemos dizer que:
ééí

Resposta

ééí

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