Encontre os pontos críticos da função:
f(x) = x ln(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função . Esse problema está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à análise de derivadas para identificar pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para resolver, precisaremos calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero ou não está definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do produto, que é usada quando derivamos o produto de duas funções. A regra do produto diz que se temos , então a derivada .

Passo 3

Aplicando a regra do produto na nossa função:
  • e
  • Calculamos (a derivada de é 1)
  • Calculamos (a derivada de é )
Então,

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero, pois esses são os candidatos a pontos críticos.

Passo 5

Resolvendo a equação :
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:

Passo 6

Além de ser igual a zero, devemos verificar se a derivada está definida no ponto encontrado. Como o logaritmo natural só é definido para , o ponto está dentro do domínio da função.

Resposta

O ponto crítico da função ocorre em .

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