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por derivaçá̃ implicita
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de derivada implícita. A questão pede para encontrar
na equação
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando temos y definido de forma implícita em relação a x.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação. Temos:
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
O que nos dá:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Vamos reorganizar tudo para um lado da equação:
Passo 4
Agora que temos uma equação mais simples, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então ao derivar termos com y, usamos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
-
-
-
-
(usando a regra do produto) -
Então, a equação derivada fica:
Passo 5
Vamos agora agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Isolando
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos simplificar o sinal no numerador: