Encontre a equaçã da reta tangente a funçã̃
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que nos ajuda a achar a inclinação da reta tangente quando a equação está dada de forma que y não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação
em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo da equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada individualmente:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: Aqui, usamos a regra do produto, já que temosmultiplicado por . A derivada fica: -
Derivada de
: Usamos a regra da cadeia, já queé função de : -
Derivada de 5:Como 5 é uma constante, sua derivada é zero:
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar
para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 5
Vamos reunir os termos que contêm
:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Agora que temos a expressão para
, vamos substituir os valores do ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Substituindo
e
:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação para a forma geral:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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