Encontre a equaçã da reta tangente a funçã̃ b^4 + x^2 * y^2 + y^3 = 5 ; P(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que nos ajuda a achar a inclinação da reta tangente quando a equação está dada de forma que y não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo da equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada individualmente:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por . A derivada fica:
  3. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia, já que é função de :
  4. Derivada de 5:
    Como 5 é uma constante, sua derivada é zero:

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 5

Vamos reunir os termos que contêm :
Fatorando :
Agora, isolamos :

Passo 6

Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores do ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Substituindo e :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar a equação para a forma geral:
Adicionando 1 em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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