Una partícula se mueve con velocidad variable en función de la posición según la expresión en y las variables posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación ( en segundos).
j. Hallar la posición de la partícula en el instante en que la fuerza tiene módulo máximo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma partícula que se move com uma velocidade que depende da posição, dada por metros por segundo. Além disso, a relação entre posição e tempo é dada por . O objetivo é encontrar a posição da partícula no instante em que a força atuando sobre ela tem o módulo máximo.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a relação entre velocidade, aceleração e força.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a posição em termos do tempo . A equação fornecida é . Resolvendo para :
Isso nos dá a posição da partícula em qualquer instante de tempo .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas como é função de e é função de , podemos usar a regra da cadeia:
Primeiro, vamos encontrar :
E é a velocidade :
Portanto, a aceleração é:
Passo 4
A força atuando na partícula é dada por:
Como a massa não foi fornecida, vamos considerar como constante. Para encontrar onde o módulo da força é máximo, precisamos encontrar onde o módulo da aceleração é máximo:
Para maximizar , observamos que conforme aumenta, também aumenta, fazendo aumentar sem limite. No entanto, geralmente consideramos o tempo realista onde a partícula está em movimento.
Passo 5
Mas, analisando a relação , vemos que deve ser menor ou igual a 1 para que seja não negativa:
Portanto, o intervalo de tempo relevante é .
Dentro desse intervalo, atinge seu máximo quando :
Então, a aceleração máxima ocorre em .
Resposta
A posição da partícula no instante em que a força tem módulo máximo é metro.
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