Una partícula se mueve con velocidad variable en función de la posición según la expresión
en
y las variables posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación
(
en segundos).
j. Hallar la posición de la partícula en el instante en que la fuerza tiene módulo máximo.
j. Hallar la posición de la partícula en el instante en que la fuerza tiene módulo máximo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma partícula que se move com uma velocidade que depende da posição, dada por
metros por segundo. Além disso, a relação entre posição
e tempo
é dada por
. O objetivo é encontrar a posição da partícula no instante em que a força atuando sobre ela tem o módulo máximo.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a relação entre velocidade, aceleração e força.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a posição
em termos do tempo
. A equação fornecida é
. Resolvendo para
:
Isso nos dá a posição da partícula em qualquer instante de tempo
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. Sabemos que aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas como
é função de
e
é função de
, podemos usar a regra da cadeia:
Primeiro, vamos encontrar
:
E
é a velocidade
:
Portanto, a aceleração é:
Passo 4
A força
atuando na partícula é dada por:
Como a massa
não foi fornecida, vamos considerar
como constante. Para encontrar onde o módulo da força é máximo, precisamos encontrar onde o módulo da aceleração
é máximo:
Para maximizar
, observamos que conforme
aumenta,
também aumenta, fazendo
aumentar sem limite. No entanto, geralmente consideramos o tempo realista onde a partícula está em movimento.
Passo 5
Mas, analisando a relação
, vemos que
deve ser menor ou igual a 1 para que
seja não negativa:
Portanto, o intervalo de tempo relevante é
.
Dentro desse intervalo,
atinge seu máximo quando
:
Então, a aceleração máxima ocorre em
.
Resposta
A posição da partícula no instante em que a força tem módulo máximo é
metro.