Una población de bacterias crece a un ritmo en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
g. Calcular í e interpretar dicho resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma população de bactérias. O enunciado diz que a taxa de crescimento da população é dada por:
E que inicialmente, ou seja, quando , há 1000 bactérias. Nosso objetivo aqui é calcular o limite de quando tende ao infinito, isto é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de cálculo diferencial e integral, especificamente a integração de funções para encontrar a função a partir da sua derivada .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função que descreve a população de bactérias ao longo do tempo. Para isso, vamos integrar a taxa de crescimento . A integração nos dará a função original mais uma constante de integração.
Então, vamos integrar :

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar, podemos fazer uma substituição. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que o logaritmo natural cresce sem limites conforme tende ao infinito, mas de forma bem mais lenta comparado a funções polinomiais. Portanto:
Multiplicando por 12000:
E acrescentando 1000:

Resposta

Isso significa que, conforme o tempo passa, a população de bactérias cresce indefinidamente, ou seja, não há um limite superior para o número de bactérias nesse modelo.

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