Una población de bacterias crece a un ritmo
en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
g. Calcular
e interpretar dicho resultado.
g. Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma população de bactérias. O enunciado diz que a taxa de crescimento da população é dada por:
E que inicialmente, ou seja, quando
, há 1000 bactérias. Nosso objetivo aqui é calcular o limite de
quando
tende ao infinito, isto é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de cálculo diferencial e integral, especificamente a integração de funções para encontrar a função
a partir da sua derivada
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função
que descreve a população de bactérias ao longo do tempo. Para isso, vamos integrar a taxa de crescimento
. A integração nos dará a função original mais uma constante de integração.
Então, vamos integrar
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar, podemos fazer uma substituição. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Então, a função
fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que o logaritmo natural
cresce sem limites conforme
tende ao infinito, mas de forma bem mais lenta comparado a funções polinomiais. Portanto:
Multiplicando por 12000:
E acrescentando 1000:
Resposta
Isso significa que, conforme o tempo passa, a população de bactérias cresce indefinidamente, ou seja, não há um limite superior para o número de bactérias nesse modelo.
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Encontre
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