Una población de bacterias crece a un ritmo p'(t) = 3000 / (1 + 0,25 t) en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
f. Hallar la cantidad aproximada de bacterias a los 100 días.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma população de bactérias que cresce a uma taxa dada por , onde é o tempo em dias. Inicialmente, há 1000 bactérias. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias haverá após 100 dias. Para resolver isso, vamos precisar integrar a taxa de crescimento para encontrar a função da população ao longo do tempo.

Passo 2

A taxa de crescimento nos dá a derivada da população em relação ao tempo. Para encontrar , precisamos integrar .
Substituindo :

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :
Então, a função da população é:

Passo 5

Finalmente, queremos saber a população após 100 dias. Substituímos na função :
Calculando :

Resposta

Após 100 dias, haverá aproximadamente 40.097 bactérias.

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