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das curvas dadas abaixo. Para quais valores de de
a curva é côncava para cima?
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de
em relação a
para as curvas dadas por
e
. Além disso, queremos saber para quais valores de
a curva é côncava para cima. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar
. Como
e
estão parametrizados por
, usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular
e
:
Portanto, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, derivamos
em relação a
e depois dividimos por
:
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, dividimos pela
:
Passo 4
Para determinar onde a curva é côncava para cima, precisamos saber onde a segunda derivada
é positiva:
Como o numerador é negativo (
) e o denominador
depende de
, para que a fração seja positiva, o denominador deve ser negativo:
Como
é sempre positivo (exceto quando
), a desigualdade depende do sinal de
:
Além disso,
só é zero quando
, mas não afeta a concavidade. Portanto, a curva é côncava para cima quando
.
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
. A curva é côncava para cima para valores de
tais que
.
Exercícios relacionados
(i)
Resolva o problema
usando o método de separação de variáveis para a corda finita com
Mostre que:
Demonstraremos apenas uma das inclusões: .
Demonstraremos apenas uma das inclusões:
Faça o que se pede: Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide
, em termos de
.