Encontre das curvas dadas abaixo. Para quais valores de de a curva é côncava para cima? .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a para as curvas dadas por e . Além disso, queremos saber para quais valores de a curva é côncava para cima. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar . Como e estão parametrizados por , usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular e :
Portanto, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, derivamos em relação a e depois dividimos por :
Primeiro, vamos derivar :
Agora, dividimos pela :

Passo 4

Para determinar onde a curva é côncava para cima, precisamos saber onde a segunda derivada é positiva:
Como o numerador é negativo ( ) e o denominador depende de , para que a fração seja positiva, o denominador deve ser negativo:
Como é sempre positivo (exceto quando ), a desigualdade depende do sinal de :
Além disso, só é zero quando , mas não afeta a concavidade. Portanto, a curva é côncava para cima quando .

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é . A curva é côncava para cima para valores de tais que .

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(i)
Resolva o problema usando o método de separação de variáveis para a corda finita com
Mostre que:
Demonstraremos apenas uma das inclusões: .
Faça o que se pede: Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide , em termos de .