Faça o que se pede: Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x = r t - d sen t, y = r - d cos t, em termos de t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a inclinação da reta tangente à trocoide definida pelas equações paramétricas e . Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas, para achar essa inclinação em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada , pode ser encontrada usando as derivadas das funções paramétricas em relação a . A fórmula para isso é:
Então, nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando . A função é dada por:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . A função é:
Derivando em relação a :

Passo 5

Com as duas derivadas em mãos, podemos agora aplicar a fórmula da inclinação:
Essa é a expressão da inclinação da reta tangente à trocoide em termos de .

Resposta

A inclinação da reta tangente à trocoide em termos de é:

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