Encontre a derivada das funções dadas usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a derivada da função usando a definição. Isso envolve entender como a função muda em relação a . Vamos precisar usar o limite para calcular essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso basicamente mede a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Vamos simplificar :

Passo 5

Subtraindo de :

Passo 6

Agora, dividimos essa diferença por :

Passo 7

Tomamos o limite quando tende a 0:

Passo 8

Agora, vamos determinar os domínios. A função original é um polinômio, que está definida para todos os números reais. A derivada também é um polinômio e, portanto, também está definida para todos os números reais.

Resposta

A derivada da função é . Tanto a função quanto a sua derivada estão definidas para todos os números reais.

Exercícios relacionados

Encontre por derivação implícita:
Encontre a derivada de cada uma das funções:
Derive as funções por meio das regras de derivação já estudadas.
Se encontre pela Regra do Quociente.