Encontre a derivada das funções dadas usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Beleza, a gente tem que achar a derivada da função
usando a definição. Isso envolve entender como a função muda em relação a
. Vamos precisar usar o limite para calcular essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso basicamente mede a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Vamos simplificar
:
Passo 5
Subtraindo
de
:
Passo 6
Agora, dividimos essa diferença por
:
Passo 7
Tomamos o limite quando
tende a 0:
Passo 8
Agora, vamos determinar os domínios. A função original
é um polinômio, que está definida para todos os números reais. A derivada
também é um polinômio e, portanto, também está definida para todos os números reais.
Resposta
A derivada da função é
. Tanto a função
quanto a sua derivada
estão definidas para todos os números reais.
Exercícios relacionados
Encontre
por derivação implícita:
Encontre a derivada de cada uma das funções:
Derive as funções por meio das regras de derivação já estudadas.
Se
encontre
pela Regra do Quociente.