O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
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Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre o escoamento de um fluido incompressível e estacionário, que é descrito por um campo vetorial. O objetivo é verificar se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço para o campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar entender e calcular a divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são fontes e sumidouros. Em um campo de escoamento, uma fonte é uma região onde o fluido está se originando, ou seja, há um aumento de quantidade de fluido. Já um sumidouro é onde o fluido está desaparecendo, havendo uma diminuição. Matematicamente, isso está relacionado à divergência do campo vetorial:
- Se a divergência for positiva em uma região, temos uma fonte.
- Se a divergência for negativa, temos um sumidouro.
- Se a divergência for zero, o fluxo é conservativo, ou seja, não há nem fontes nem sumidouros nessa região.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo vetorial:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar o resultado da divergência:
Note que
é sempre positivo ou zero, pois são quadrados. Portanto, a divergência é sempre positiva ou zero:
- Positiva em todas as regiões do espaço, exceto na origem
, onde é zero. - Isso indica que, em todas essas regiões, existem fontes.
Resposta
Sim, o campo vetorial
possui fontes em todas as regiões do espaço, já que a divergência é sempre positiva.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funçöes:
Usando o Teorema de Gauss para obter o fluxo do campo
através da superfície
(orientada positivamente) onde
e
é a fronteira do sólido
limitado pelo parabolóide
e pelo plano
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Encontre
por derivaçäo implícita.
O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(a) .
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