O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial v. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
© v(x, y, z) = x^3 i + y^3 j + z^3 k.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o escoamento de um fluido incompressível e estacionário, que é descrito por um campo vetorial. O objetivo é verificar se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço para o campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar entender e calcular a divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são fontes e sumidouros. Em um campo de escoamento, uma fonte é uma região onde o fluido está se originando, ou seja, há um aumento de quantidade de fluido. Já um sumidouro é onde o fluido está desaparecendo, havendo uma diminuição. Matematicamente, isso está relacionado à divergência do campo vetorial:
  • Se a divergência for positiva em uma região, temos uma fonte.
  • Se a divergência for negativa, temos um sumidouro.
  • Se a divergência for zero, o fluxo é conservativo, ou seja, não há nem fontes nem sumidouros nessa região.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo vetorial:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar o resultado da divergência:
Note que é sempre positivo ou zero, pois são quadrados. Portanto, a divergência é sempre positiva ou zero:
  • Positiva em todas as regiões do espaço, exceto na origem , onde é zero.
  • Isso indica que, em todas essas regiões, existem fontes.

Resposta

Sim, o campo vetorial possui fontes em todas as regiões do espaço, já que a divergência é sempre positiva.

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