Encontre onde: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a derivada de em relação a , onde . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções compostas. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função inversa da cossecante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções composta:
  • Função externa: , onde .
  • Função interna: .
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa em relação à interna, multiplicada pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . A derivada da arccosecante é:
Como , , então . Portanto, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas que encontramos:
Substituindo :
Vamos simplificar o denominador:
Então, a expressão fica:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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