Encontre d/y dx (y') diferenciando implicitamente:
y = (cos x)^(sen x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , onde é igual a . Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que estão expressas de forma mais complexa, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Quando temos uma variável no expoente, uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso nos ajuda a trazer o expoente para baixo e simplificar a derivação. Então, aplicamos o logaritmo natural:

Passo 3

Agora, usando as propriedades dos logaritmos, especificamente , podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então ao derivar usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos o produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto para diferenciar esse lado:

Passo 5

Continuando, precisamos derivar . Usamos a regra da cadeia novamente:
Então, substituindo de volta na equação do Passo 4:

Passo 6

Agora, igualamos as duas derivações que fizemos:
Para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados