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diferenciando implicitamente:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, onde
é igual a
. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que estão expressas de forma mais complexa, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Quando temos uma variável
no expoente, uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso nos ajuda a trazer o expoente para baixo e simplificar a derivação. Então, aplicamos o logaritmo natural:
Passo 3
Agora, usando as propriedades dos logaritmos, especificamente
, podemos simplificar o lado direito da equação:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então ao derivar
usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos o produto de duas funções:
e
. Vamos usar a regra do produto para diferenciar esse lado:
Passo 5
Continuando, precisamos derivar
. Usamos a regra da cadeia novamente:
Então, substituindo de volta na equação do Passo 4:
Passo 6
Agora, igualamos as duas derivações que fizemos:
Para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: