Encontre diferenciando implicitamente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar para a função . O conteúdo que vamos usar aqui é diferenciação de funções exponenciais com expoente variável e diferenciação implícita. Para isso, vamos precisar aplicar logaritmos naturais e usar algumas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 4

No lado esquerdo, aplicando a regra da cadeia, obtemos:
Aqui, diferenciamos usando a regra do produto, onde derivamos e separadamente.

Passo 5

Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Por fim, lembramos que e substituímos na equação:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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