Encontre diferenciando implicitamente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , para a função . Vamos usar o método da diferenciação implícita e algumas regras de derivação, como a regra do logaritmo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a diferenciação tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação. Isso ajuda a lidar com expressões que têm variáveis nos expoentes.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão do lado direito usando a propriedade dos logaritmos que diz que :

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia no lado esquerdo.

Passo 5

Diferenciando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos diferenciar o lado direito. Como temos um produto de e , usamos a regra do produto:

Passo 7

Agora, igualamos as duas partes que diferenciamos:

Passo 8

Para achar , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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