Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
a) A=(cc 16 & 5 1 & 2 ) b) A=(ccc 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3 ) c) A=(ccc 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a decomposição das matrizes que você enviou. A decomposição LU é uma maneira de escrever uma matriz como o produto de uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes triangulares e como realizar a fatoração passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que tem a seguinte matriz:
A = 16 & 5 1 & 2
Primeiro, precisamos encontrar uma matriz (inferior) e uma matriz (superior) tais que .

Passo 3

A matriz L = 1 & 0 l21 & 1 terá a forma:
U = u11 & u12 0 & u22
E a matriz terá a forma:
Aqui, os elementos na diagonal de são 1, o que simplifica os cálculos.

Passo 4

Multiplicando LU = 1 & 0 l21 & 1 u11 & u12 0 & u22 = u11 & u12 l21u11 & l21u12 + u22 por , temos:
Queremos que isso seja igual a matriz , então igualamos os elementos correspondentes:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores:
  1. Já temos l21 = 1u11 = 116 e u22 = 2 - l21u12 = 2 - (116 times 5) = 2 - 516 = 2716 .
  2. Para encontrar :
  1. Para encontrar :

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados nas matrizes L = 1 & 0 116 & 1 , U = 16 & 5 0 & 2716 e :

Resposta

A decomposição L = 1 & 0 116 & 1 , U = 16 & 5 0 & 2716 da matriz a) é:

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