Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo theta nos seguintes casos:
csc(theta) = 9/7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos todas as funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para um ângulo theta, sabendo que . A matéria envolvida aqui é trigonometria básica, especialmente as relações entre as funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar que é o inverso do seno e usar o teorema de Pitágoras para encontrar os outros valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o inverso de . Então, se , isso significa que:
Isso nos dá o valor do seno.

Passo 3

Agora, para achar o cosseno, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental:
Sabemos que , então:
Sem mais informações sobre o quadrante, vamos considerar os valores positivos.

Passo 4

Com seno e cosseno encontrados, podemos agora calcular a tangente. A tangente é o seno dividido pelo cosseno:

Passo 5

A cotangente é o inverso da tangente, então:

Passo 6

A secante é o inverso do cosseno:

Passo 7

A cossecante já foi dada no enunciado, mas vamos verificar:

Resposta

As demais funções trigonométricas para o ângulo theta são:

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(x^3 + 2x^2 + 4x) / (x^3 + 2x^2) * (x^2 - 4) / (x - 2)
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sen^2(theta) = 3 cos^2(theta)