Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a derivada de uma função logarítmica e de funções trigonométricas. Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para lidar com a composição dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do logaritmo. Vamos chamar de
:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso é a Regra da Cadeia aplicada ao logaritmo.
Passo 4
Vamos calcular
. Temos que derivar cada termo da função
:
-
Derivada de
: (Usamos a regra da derivada de, que é ) -
Derivada de
: (Aqui usamos a regra da derivada de, que é )
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada de
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar o 4 e a
no numerador:
Observamos que
está no numerador e no denominador, então eles se cancelam:
Resposta
A derivada da função é:
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