Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a derivada de uma função logarítmica e de funções trigonométricas. Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para lidar com a composição dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do logaritmo. Vamos chamar de :
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a derivada de em relação a é dada por:
Isso é a Regra da Cadeia aplicada ao logaritmo.

Passo 4

Vamos calcular . Temos que derivar cada termo da função :
  1. Derivada de :
    (Usamos a regra da derivada de , que é )
  2. Derivada de :
    (Aqui usamos a regra da derivada de , que é )
Então,

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da derivada de :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar o 4 e a no numerador:
Observamos que está no numerador e no denominador, então eles se cancelam:

Resposta

A derivada da função é:

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