Encontre a derivada direcional de em na direção e sentido de um vetor que faça um ângulo com o eixo .
b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto , na direção de um vetor que forma um ângulo com o eixo . Esse problema está no contexto de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função e um vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor de direção unitário que aponta na direção do ângulo .
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a e :
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a :
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a :
Passo 6
Então, o gradiente da função é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Passo 8
Em seguida, precisamos determinar o vetor de direção unitário que faz um ângulo com o eixo . As coordenadas desse vetor são:
Passo 9
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor de direção unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor que forma um ângulo com o eixo é .