Encontre a derivada direcional de f em P na direção e sentido de um vetor que faça um ângulo theta com o eixo x.
b) f(x, y) = (x - y) / (x + y), P = (-1, -2), θ = pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto , na direção de um vetor que forma um ângulo com o eixo . Esse problema está no contexto de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função e um vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor de direção unitário que aponta na direção do ângulo .

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a e :

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Então, o gradiente da função é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 8

Em seguida, precisamos determinar o vetor de direção unitário que faz um ângulo com o eixo . As coordenadas desse vetor são:

Passo 9

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor de direção unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor que forma um ângulo com o eixo é .

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