Encontre a derivada direcional de
em
na direção e sentido de um vetor que faça um ângulo
com o eixo
.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
, na direção de um vetor que forma um ângulo
com o eixo
. Esse problema está no contexto de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função e um vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
e do vetor de direção unitário
que aponta na direção do ângulo
.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a
e
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Então, o gradiente da função é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 8
Em seguida, precisamos determinar o vetor de direção unitário
que faz um ângulo
com o eixo
. As coordenadas desse vetor são:
Passo 9
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor de direção unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor que forma um ângulo
com o eixo
é
.