Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para verificar se as funções e são soluções da equação diferencial ordinária (EDO) dada por . Além disso, temos que determinar em qual intervalo essas funções formam um conjunto fundamental de soluções usando o wronskiano . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções de EDOs lineares e como calcular o wronskiano para verificar a independência linear das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que e realmente satisfazem a EDO . Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de cada função e substituir na equação.
Vamos começar com :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Agora, com :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Viu só? Ambas as funções satisfazem a equação diferencial!

Passo 3

Agora, vamos calcular o wronskiano . O wronskiano ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes, ou seja, se formam um conjunto fundamental.
A fórmula do wronskiano para duas funções e é:
Vamos calcular:
Simplificando:

Passo 4

Perfeito! Calculamos o wronskiano e vimos que . Agora, para que as funções e formem um conjunto fundamental de soluç��es, o wronskiano precisa ser diferente de zero no intervalo considerado.
Como é um número real ( ), será diferente de zero a menos que . Porém, se , a equação diferencial tem soluções diferentes. Assumindo que , o wronskiano é sempre diferente de zero.

Resposta

As funções e são soluções da EDO e formam um conjunto fundamental de soluções em todo o intervalo , já que o wronskiano para .

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Encontre a derivada direcional de em na direção e sentido de um vetor que faça um ângulo com o eixo .
b) .
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Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine a solução do problema de valor inicial associado.
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