Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções da EDO dada e determine a solução do problema de valor inicial associado. y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1, y1(x) = e^x, y2(x) = e^-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Além disso, temos duas funções: e . Nosso objetivo é verificar se essas funções são soluções dessa EDO e, depois, encontrar a solução que atende às condições iniciais e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e superposição de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:
Substituindo na EDO:
Como a equação se iguala a zero, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução da EDO. Calculamos as derivadas:
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:
Substituindo na EDO:
Viu só? também satisfaz a equação diferencial, então é uma solução válida.

Passo 4

Como temos duas soluções e da EDO, a solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções. Ou seja:
Aqui, e são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
(1)
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo :
(2)
Agora, usando a equação (1) na equação (2):
E, consequentemente:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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