Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine a solução do problema de valor inicial associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
. Além disso, temos duas funções:
e
. Nosso objetivo é verificar se essas funções são soluções dessa EDO e, depois, encontrar a solução que atende às condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e superposição de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de
e substituir na equação.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Substituindo na EDO:
Como a equação se iguala a zero,
é realmente uma solução da EDO.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também é uma solução da EDO. Calculamos as derivadas:
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Substituindo na EDO:
Viu só?
também satisfaz a equação diferencial, então é uma solução válida.
Passo 4
Como temos duas soluções
e
da EDO, a solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções. Ou seja:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Agora, usando a equação (1)
na equação (2):
E, consequentemente:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano
.
.
Encontre a derivada direcional de
em
na direção e sentido de um vetor que faça um ângulo
com o eixo
.
b) .
b)
Suponha que
, para alguma constante
qualquer, defina
implicitamente como uma função de
e
. Mostre que se
, então