Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine a solução do problema de valor inicial associado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Além disso, temos duas funções: e . Nosso objetivo é verificar se essas funções são soluções dessa EDO e, depois, encontrar a solução que atende às condições iniciais e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e superposição de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:
Substituindo na EDO:
Como a equação se iguala a zero, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução da EDO. Calculamos as derivadas:
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:
Substituindo na EDO:
Viu só? também satisfaz a equação diferencial, então é uma solução válida.

Passo 4

Como temos duas soluções e da EDO, a solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções. Ou seja:
Aqui, e são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
(1)
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo :
(2)
Agora, usando a equação (1) na equação (2):
E, consequentemente:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .
Encontre a derivada direcional de em na direção e sentido de um vetor que faça um ângulo com o eixo .
b) .
çãééçãáçãéêí
Suponha que , para alguma constante qualquer, defina implicitamente como uma função de e . Mostre que se , então