Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de um vetor que forma, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas direcionais, usar o conceito de gradiente e trabalhar com vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto específico mede a taxa de variação da função naquele ponto na direção de um vetor dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e do vetor unitário que define a direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do ângulo
. As componentes desse vetor são:
Como já é um vetor unitário, não precisamos normalizar.
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção especificada é
.