Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo theta com o eixo x positivo. f(x, y) = raiz(x y) ; P = (1, 4), θ = pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor que forma, no sentido anti-horário, um ângulo com o eixo positivo. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas direcionais, usar o conceito de gradiente e trabalhar com vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto específico mede a taxa de variação da função naquele ponto na direção de um vetor dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e do vetor unitário que define a direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são:
Como já é um vetor unitário, não precisamos normalizar.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de em na direção especificada é .

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