Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise do grau da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo
na segunda equação:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A Matriz Hessiana é:
Passo 5
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como
, isso indica que o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
tem um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela. Não há máximos ou mínimos relativos.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.
Mostre que as funções
sen
e
sen
são diferenciáveis.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
.