Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise do grau da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo na segunda equação:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A Matriz Hessiana é:

Passo 5

Calculamos o determinante da Hessiana:
Como , isso indica que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em , que é um ponto de sela. Não há máximos ou mínimos relativos.

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