Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função que estamos analisando é:
E temos que:
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de diferenciação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
e
, e como
e
dependem de
. Para usar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos encontrar
. Dado que:
A derivada da função logarítmica
em relação a
é
. Então:
Como
é tratado como constante em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Usando a mesma lógica:
Aqui,
é constante em relação a
:
Então:
Passo 5
Agora precisamos das derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar substituindo
e
:
Simplificando
:
Passo 8
Simplificando as frações:
O termo
:
Passo 9
Para simplificar ainda mais, podemos fatorar
do denominador:
Substituindo:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.
Encontre a derivada direcional de f em P na direção e no sentido de um vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo
com o eixo
positivo.
.
Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
.
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
.