Utilize a regra da cadeia para determinar d/z dt. z = ln(2x^2 + y); x = raiz(t), y = t^(2/3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função que estamos analisando é:
E temos que:
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de diferenciação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de e , e como e dependem de . Para usar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar . Dado que:
A derivada da função logarítmica em relação a é . Então:
Como é tratado como constante em relação a :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Usando a mesma lógica:
Aqui, é constante em relação a :
Então:

Passo 5

Agora precisamos das derivadas de e em relação a :

Passo 6

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar substituindo e :
Simplificando :

Passo 8

Simplificando as frações:
O termo :

Passo 9

Para simplificar ainda mais, podemos fatorar do denominador:
Substituindo:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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