Use a Regra da Cadeia para determinar d/z dt ou d w / d t.
e) w = 5 cos(y x) - sen(x z), x = t^(-1), y = t, z = t^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função , onde as variáveis , e são funções do tempo :
O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 2

Vamos reescrever a função substituindo , e por suas expressões em termos de :
Simplificando as expressões dentro das funções trigonométricas:
Mas, na verdade, vamos manter as variáveis separadas para aplicar a Regra da Cadeia corretamente.

Passo 3

Para encontrar , precisamos derivar cada termo de em relação a . Vamos derivar separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o primeiro termo . Aplicamos a Regra da Cadeia:
Agora, precisamos derivar :

Passo 5

Vamos calcular e :
Substituindo de volta:
Portanto, a derivada do primeiro termo é:

Passo 6

Agora, vamos derivar o segundo termo . Novamente, usamos a Regra da Cadeia:
Derivamos :

Passo 7

Calculamos :
Substituindo:
Portanto, a derivada do segundo termo é:

Passo 8

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para encontrar :

Resposta

A derivada é:

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