Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
. Além disso, temos duas condições de contorno:
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça tanto a equação quanto essas condições, ou mostrar que não existe uma solução que cumpra tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas.
A solução geral é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira condição de contorno:
. Substituindo
na solução geral:
Como
, temos:
Então, nossa solução simplifica para:
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada da solução para aplicar a segunda condição de contorno. Calculando
:
A segunda condição de contorno é
. Substituindo
:
E sabemos que
, então:
Passo 5
Com os valores de
e
determinados, nossa solução fica:
Vamos verificar se essa solução satisfaz ambas as condições de contorno.
Passo 6
Verificando a primeira condição
:
Está correto.
Verificando a segunda condição
:
Também está correto.
Resposta
A solução que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é: