resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução: y'' + y = 0, y(0) = 0, y' (pi) = 1ãçã

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: . Além disso, temos duas condições de contorno: e . Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça tanto a equação quanto essas condições, ou mostrar que não existe uma solução que cumpra tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas.
A solução geral é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição de contorno: . Substituindo na solução geral:
Como , temos:
Então, nossa solução simplifica para:

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada da solução para aplicar a segunda condição de contorno. Calculando :
A segunda condição de contorno é . Substituindo :
E sabemos que , então:

Passo 5

Com os valores de e determinados, nossa solução fica:
Vamos verificar se essa solução satisfaz ambas as condições de contorno.

Passo 6

Verificando a primeira condição :
Está correto.
Verificando a segunda condição :
Também está correto.

Resposta

A solução que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é:

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