(0,5 ponto) Considere uma PG com prim10eiro termo 3 e razão . Calcule o quinto e o trigésimo termo desta PG. Quanto é a soma dos 20 primeiros termos desta PG?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Progressão Geométrica (PG). A questão nos dá o primeiro termo, , e a razão da PG, . Precisamos calcular o quinto e o trigésimo termo dessa PG, além de determinar a soma dos 20 primeiros termos. Para isso, vamos usar as fórmulas da PG para encontrar os termos específicos e a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o enésimo termo de uma PG. A fórmula para o -ésimo termo é:
Onde:
  • é o -ésimo termo,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão,
  • é a posição do termo na sequência.

Passo 3

Vamos calcular o quinto termo ( ) da PG. Substituindo os valores na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o trigésimo termo ( ) da PG usando a mesma fórmula:
Como a potência é ímpar e a base é negativa, . Portanto:

Passo 5

Para encontrar a soma dos 20 primeiros termos da PG, usamos a fórmula da soma dos termos:
Substituindo os valores:

Passo 6

Calculando as potências e simplificando:
Então:

Resposta

O quinto termo da PG é 48, o trigésimo termo é -3 \cdot 2^{29}, e a soma dos 20 primeiros termos dessa PG é -1.048.575.

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