(0,5 ponto) Considere uma PG com prim10eiro termo 3 e razão
. Calcule o quinto e o trigésimo termo desta PG. Quanto é a soma dos 20 primeiros termos desta PG?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Progressão Geométrica (PG). A questão nos dá o primeiro termo,
, e a razão da PG,
. Precisamos calcular o quinto e o trigésimo termo dessa PG, além de determinar a soma dos 20 primeiros termos. Para isso, vamos usar as fórmulas da PG para encontrar os termos específicos e a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o enésimo termo de uma PG. A fórmula para o
-ésimo termo é:
Onde:
-
é o -ésimo termo, -
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos calcular o quinto termo (
) da PG. Substituindo os valores na fórmula:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trigésimo termo (
) da PG usando a mesma fórmula:
Como a potência é ímpar e a base é negativa,
. Portanto:
Passo 5
Para encontrar a soma dos 20 primeiros termos da PG, usamos a fórmula da soma dos
termos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando as potências e simplificando:
Então:
Resposta
O quinto termo da PG é 48, o trigésimo termo é -3 \cdot 2^{29}, e a soma dos 20 primeiros termos dessa PG é -1.048.575.