Seja a_n = 2n / (3n + 1). Determine se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira. Explique sua resposta.
Uma série infinita é convergente se sua sequência de termos é convergente.

Passo 1

Então, a gente tem a sequência e precisa verificar se a afirmação “Uma série infinita é convergente se sua sequência de termos é convergente” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries da matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para descobrir se ela converge, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Então, a sequência converge para .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre séries. Uma série infinita converge somente se a sequência dos termos tende a zero. Isso é o Critério Necessário da Convergência para séries.
No nosso caso, a sequência tende a , que não é zero. Portanto, a série não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora a sequência convirja para , a série correspondente não converge porque os termos não tendem a zero.

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