Seja
. Determine se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira. Explique sua resposta.
Uma série infinita é convergente se sua sequência de termos é convergente.
Uma série infinita é convergente se sua sequência de termos é convergente.
Passo 1
Então, a gente tem a sequência
e precisa verificar se a afirmação “Uma série infinita é convergente se sua sequência de termos é convergente” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para descobrir se ela converge, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Então, a sequência converge para
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre séries. Uma série infinita
converge somente se a sequência dos termos
tende a zero. Isso é o Critério Necessário da Convergência para séries.
No nosso caso, a sequência
tende a
, que não é zero. Portanto, a série
não converge.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora a sequência
convirja para
, a série correspondente não converge porque os termos não tendem a zero.
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correspondentes aos valores do parâmetro
e 2 .
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Encontre a derivada direcional de
em
na direção que aponta para a origem.