Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a direção de maior variação de V no ponto P ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção de maior variação do potencial elétrico
no ponto
. Isso está relacionado ao cálculo de gradientes na matéria de cálculo vetorial, que nos ajuda a entender como uma função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a direção de maior variação de uma função em um ponto específico é dada pelo seu gradiente nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.
Passo 3
Para achar o gradiente de
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Ou seja, vamos achar
,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de
é o vetor:
Passo 6
Esse vetor gradiente indica a direção na qual o potencial
aumenta mais rapidamente no ponto
. Para obter apenas a direção, podemos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir cada componente pelo módulo do gradiente.
Passo 7
O módulo do gradiente
é dado por:
Passo 8
Então, a direção de maior variação de
no ponto
é:
Resposta
A direção de maior variação do potencial
no ponto
é dada pelo vetor gradiente
normalizado, ou seja:
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
i)
Calcule os seguintes limites justificando sua resposta…
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
n)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.