Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico , em Volts, seja expresso pela função , com as coordenadas e dadas em metros. Qual é a direção de maior variação de V no ponto P ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção de maior variação do potencial elétrico no ponto . Isso está relacionado ao cálculo de gradientes na matéria de cálculo vetorial, que nos ajuda a entender como uma função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a direção de maior variação de uma função em um ponto específico é dada pelo seu gradiente nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.

Passo 3

Para achar o gradiente de , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . Ou seja, vamos achar , e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, juntando essas derivadas, o gradiente de é o vetor:

Passo 6

Esse vetor gradiente indica a direção na qual o potencial aumenta mais rapidamente no ponto . Para obter apenas a direção, podemos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir cada componente pelo módulo do gradiente.

Passo 7

O módulo do gradiente é dado por:

Passo 8

Então, a direção de maior variação de no ponto é:
çã

Resposta

A direção de maior variação do potencial no ponto é dada pelo vetor gradiente normalizado, ou seja:
çã

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i) ;
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