Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
Vamos resolver a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, usaremos conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que mede a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Precisaremos calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Isso porque
.
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor.
O vetor unitário
na direção de
é dado por:
Onde
é a norma de
:
Então,
Passo 5
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a taxa máxima de variação de
no ponto
?
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto
e na direção de
.
4
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
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