Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico , em Volts, seja expresso pela função , com as coordenadas e dadas em metros. Qual é a taxa máxima de variação de no ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um potencial elétrico que depende das coordenadas , e (em metros). A pergunta é: qual é a taxa máxima de variação desse potencial no ponto ?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função potencial, que nos dá a direção e a taxa de variação máxima. Não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa máxima de variação de uma função. Imagine que você está subindo uma montanha: a taxa máxima de subida no seu ponto atual é na direção que você está mais inclinada para cima. Matematicamente, isso é dado pelo gradiente da função.
No nosso caso, o gradiente de vai nos dizer em qual direção o potencial está aumentando mais rapidamente e qual é essa taxa máxima de variação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente. Para encontrar isso, usamos a fórmula da norma do vetor:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Essa expressã̃o dá a taxa máxima de variação do potencial no ponto .

Resposta

A taxa máxima de variação de no ponto é dada por:

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Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano . Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto e na direção de .
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i) ;
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
4
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;