Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a taxa máxima de variação de
no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um potencial elétrico
que depende das coordenadas
,
e
(em metros). A pergunta é: qual é a taxa máxima de variação desse potencial no ponto
?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função potencial, que nos dá a direção e a taxa de variação máxima. Não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa máxima de variação de uma função. Imagine que você está subindo uma montanha: a taxa máxima de subida no seu ponto atual é na direção que você está mais inclinada para cima. Matematicamente, isso é dado pelo gradiente da função.
No nosso caso, o gradiente de
vai nos dizer em qual direção o potencial está aumentando mais rapidamente e qual é essa taxa máxima de variação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente. Para encontrar isso, usamos a fórmula da norma do vetor:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Essa expressã̃o dá a taxa máxima de variação do potencial
no ponto
.
Resposta
A taxa máxima de variação de
no ponto
é dada por:
Exercícios relacionados
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto
e na direção de
.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i) ;
i)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
4
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)